دنیای فرمول‌ها
فرمول را همراه با معنی نمادها، شرط استفاده و یک مثال واقعی یاد بگیر.
الگو و حل مسئله
a₁ جمله اول، d اختلاف ثابت، n شماره جمله
شرط: این رابطه فقط برای دنباله حسابی با اختلاف ثابت است.
توضیح و مثال حل‌شده
ابتدا داده‌ها و خواسته را جدا کن. با جدول یا رسم شکل یک الگو پیدا کن و آن را در حالت‌های بعدی آزمایش کن.
3, 7, 11, ...؛ جمله پنجم چیست؟
- اختلاف هر دو جمله پیاپی برابر ۴ است.
- برای رسیدن از جمله اول به پنجم چهار بار ۴ اضافه می‌کنیم.
- 3 + 4 × 4 = 19
عددهای صحیح و علامت‌ها
a و b عددهای حقیقی هستند.
شرط: برای جمع و تفریق اعداد حقیقی
توضیح و مثال حل‌شده
اعداد منفی در سمت چپ صفر قرار دارند. جمع با عدد منفی یعنی حرکت به چپ روی محور.
-3 - (-5)
- تفریق منفی به جمع تبدیل می‌شود.
- -3 + 5 = 2
کسر، نسبت و درصد
a,c صورت؛ b,d مخرج
شرط: b و d ناصفر؛ درصد یعنی سهم از ۱۰۰.
توضیح و مثال حل‌شده
کسر سهمی از یک کل است. برای جمع دو کسر باید اندازه قطعه‌ها یکسان باشد؛ مخرج مشترک می‌گیریم.
1/2 + 1/3
- مخرج مشترک ۶ را انتخاب می‌کنیم.
- 1/2=3/6 و 1/3=2/6
- 3/6 + 2/6 = 5/6
معادله و نامعادله
a ضریب x، b عدد ثابت، c طرف دیگر
شرط: a ≠ 0؛ در نامعادله ضرب یا تقسیم در عدد منفی جهت را برعکس می‌کند.
توضیح و مثال حل‌شده
معادله مثل ترازوی متعادل است. با انجام یک عمل یکسان بر دو طرف، تعادل را حفظ می‌کنیم.
2x + 3 = 11
- از دو طرف ۳ کم کن: 2x=8
- دو طرف را بر ۲ تقسیم کن: x=4
- بررسی: 2×4+3=11
زاویه و استدلال هندسی
α و β دو زاویه مکمل
شرط: دو زاویه مجاور روی یک خط راست
توضیح و مثال حل‌شده
زاویه چرخش بین دو نیم‌خط با رأس مشترک است. زاویه‌های روی یک خط راست مجموع ۱۸۰ درجه دارند.
یک زاویه ۶۵ درجه است؛ مکمل آن؟
- مجموع دو زاویه ۱۸۰ درجه است.
- 180−65=115 درجه
اعداد اول و شمارنده‌ها
p عدد اول و a تعداد تکرار عامل
شرط: n عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱
توضیح و مثال حل‌شده
عدد اول عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که فقط دو شمارنده مثبت دارد: ۱ و خودش. تجزیه به عوامل اول در یافتن ب.م.م و ک.م.م کمک می‌کند.
تجزیه ۱۲ و ۱۸ و یافتن ب.م.م
- 12=2²×3 و 18=2×3²
- کمترین توان عوامل مشترک: 2×3=6
سطح و حجم
a,b,c طول، عرض و ارتفاع مکعب‌مستطیل؛ V حجم؛ S سطح
شرط: همه طول‌ها با یک واحد؛ جسم مکعب‌مستطیل
توضیح و مثال حل‌شده
حجم تعداد واحدهای مکعبی داخل یک جسم است. مساحت سطح، مجموع مساحت وجه‌های بیرونی است.
مکعب‌مستطیل با طول ۳، عرض ۴ و ارتفاع ۲
- V=3×4×2=24 واحد مکعب
- S=2(12+6+8)=52 واحد مربع
توان و ریشه
a پایه، m و n توان‌های صحیح
شرط: برای توان‌های منفی یا صفر a≠۰؛ √ فقط برای عدد نامنفی در اعداد حقیقی
توضیح و مثال حل‌شده
توان نشان‌دهنده ضرب تکراری است. هنگام ضرب توان‌های هم‌پایه، تعداد عامل‌ها جمع می‌شود. ریشه دوم اصلی همیشه نامنفی است.
2³×2²
- سه عامل ۲ و دو عامل ۲ داریم.
- در مجموع پنج عامل: 2⁵=32
بردار و مختصات
A و B نقاط؛ x مؤلفه افقی، y عمودی
شرط: در دستگاه مختصات متعامد
توضیح و مثال حل‌شده
مختصات یک نقطه جفت مرتب (x,y) است. مؤلفه‌های بردار، تغییر مکان افقی و عمودی را نشان می‌دهند.
A=(1,2)، B=(4,6)
- تغییر افقی: 4−1=3
- تغییر عمودی: 6−2=4
- AB=(3,4)
آمار و احتمال
xᵢ داده، n تعداد، S فضای نمونه، A پیشامد
شرط: داده عددی؛ برای نسبت شمارشی احتمال، حالت‌ها هم‌شانس باشند.
توضیح و مثال حل‌شده
میانگین مرکز عددی داده‌هاست. احتمال در حالت‌های هم‌شانس، نسبت حالت‌های مطلوب به کل حالت‌ها است.
داده‌ها ۲، ۴، ۶؛ میانگین؟
- مجموع داده‌ها ۱۲ است.
- ۱۲÷۳=۴
مثلث و قضیه فیثاغورس
a,b دو ضلع قائم، c وتر
شرط: فقط مثلث قائم‌الزاویه؛ c روبه‌روی زاویه قائمه
توضیح و مثال حل‌شده
مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است. در مثلث قائم، مربع وتر برابر مجموع مربع دو ضلع دیگر است.
ضلع‌های قائم ۳ و ۴
- c²=9+16=25
- c=√25=5
دایره و اندازه‌گیری
r شعاع، A مساحت، C محیط
شرط: دایره در صفحه؛ r≥۰
توضیح و مثال حل‌شده
دایره مجموعه نقاط با فاصله ثابت از مرکز است. شعاع نصف قطر است.
دایره‌ای با شعاع ۳
- محیط: 2π×3=6π
- مساحت: π×3²=9π